Photo courtesy of the Mathematical Council of the Americas
Des réponses définitives
Carlo Pagano a obtenu un doctorat en 2018 de l’Université de Leiden, aux Pays-Bas. Après avoir occupé des postes postdoctoraux à l’Institut Max-Planck de mathématiques, à Bonn, et à l’Université de Glasgow, il s’est joint en août 2022 au Département de mathématiques et de statistique de l’Université Concordia.
Mais son amour pour les mathématiques s’est révélé vers l’âge de 17 ans. « Je passais la plupart de mes journées à lire de la philosophie et à jouer du piano. Puis, j’ai commencé à m’intéresser aux neurosciences et je me suis dit qu’il me fallait apprendre quelques notions de mathématiques.
« Un ami m’a offert un livre contenant des énigmes destinées à préparer les élèves du secondaire aux concours de mathématiques. J’ai passé l’été en Italie à les parcourir et je suis devenu accro; cette passion ne s’est jamais démentie depuis. »
Sa formation en philosophie lui a été utile pour explorer des énigmes complexes, mais il a abandonné avec enthousiasme l’univers souvent flou de son ancien champ d’intérêt. « Je n’étais jamais satisfait de ma compréhension, explique-t-il. En mathématiques, vous savez quand vous avez compris quelque chose. Il y a ce niveau de précision qui est pratiquement propre à la discipline. »
Des cheminements à tracer
Ayant passé la majeure partie de sa vie de l’autre côté de l’Atlantique, Carlo Pagano a été séduit par la saveur européenne de Montréal. Mais c’est l’association de Concordia avec un important collectif de renommée internationale s’intéressant à la théorie des nombres qui l’a vraiment attiré à l’Université. Composé de mathématiciennes et mathématiciens de Concordia, de McGill et de l’Université de Montréal, le Centre interuniversitaire en calcul mathématique algébrique (CICMA) se réunit régulièrement dans un local qui lui est alloué au pavillon J-.W.-McConnell (LB).
Carlo Pagano fait remarquer que l’enseignement des mathématiques est, à bien des égards, l’inverse de la pratique des mathématiques, étant donné que l’on travaille à rebours, c’est-à-dire de l’absolu vers l’inconnu.
« Il faut expliquer comment on arrive à ces idées, précise-t-il. Lorsqu’on voit les formules en action, il est clair qu’elles fonctionnent, mais comment diable en arrive-t-on à cette idée? C’est mystérieux, il faut donner des explications, et cet exercice est très intéressant et me plaît beaucoup. »
« L’élaboration de cheminements n’est pas toujours un processus évident. Vous savez où vous voulez aller, mais vous devez parcourir toute la distance qui mène des choses que vous savez être vraies à celles dont vous espérez prouver la véracité. Parfois, c’est évident, mais il arrive que le cheminement comporte des méandres, des astuces ou des tournants inattendus. Vous devez, d’une manière ou d’une autre, donner un sens à tout cela pour les étudiants. »
Vingt-trois problèmes, mais le dixième n’en est plus un
En 1900, le mathématicien de renom David Hilbert a compilé une liste de 23 problèmes mathématiques, dont la plupart ne sont toujours pas résolus.
« Les problèmes soumis au Congrès international des mathématiciens de Paris par le très influent mathématicien David Hilbert sont considérés comme de l’histoire ancienne. Ils ont cependant eu une grande influence, et de nombreuses personnes s’y sont penchées tout au long du siècle. »
Les travaux récents de Carlo Pagano portent sur le 10e problème, qui concerne les équations diophantiennes, c’est-à-dire les « polynômes à coefficients entiers tels que x2 + y2 = 5 ».
Julia Robinson a fait quelques progrès dans la résolution de ce 10e problème dans les années 1950, de même que Yuri Matiyasevich dans les années 1970. « Le problème a été partiellement résolu, et d’autres avancées ont suivi, note Carlo Pagano. Il est devenu de plus en plus spécialisé et, au bout de quelque temps, s’est rapproché de mon domaine de réflexion, alors j’ai décidé de tenter de le résoudre. »
Carlo Pagano et son collaborateur Peter Koymans ont fini par réaliser une percée décisive en décembre 2024. Peu après, un autre groupe a trouvé un nouvel argument en suivant, dans ses grandes lignes, la même méthode, mais en appliquant celle-ci à des objets très différents. Ainsi, près d’un siècle et demi plus tard, le 10e problème de Hilbert est résolu, dans la mesure où les mathématiques permettent désormais d’explorer la frontière entre l’indécidabilité et la décidabilité.
Apprenez-en davantage sur le Département de mathématiques et de statistique de l’Université Concordia.